从向量到傅里叶变换

前言

在《信号与系统》课程学习过程中，奥本海姆版教材从高等数学的角度确立了连续周期信号的傅里叶级数表示。整个推导过程十分严谨，但是缺少直观性。在学习郑君里版信号与系统时我了解到了正交函数集的概念，结合先前了解到的一些文章，我认识到函数本质上可以表示成无限维向量。结合线性代数中向量空间的相关概念，我认识到可以从函数空间的角度理解傅里叶变换。在查阅相关文章资料后，有了些许粗略的理解。遂决定攥写这篇博客。在本文中，我将整合我了解到的信息，并简单阐述我的浅陋的理解。由于本人只是一名普通的工科专业本科生，数理能力有限，这篇文章姑且权当个人笔记。如果有错误还请各位大佬斧正。

从向量空间到函数空间

什么是空间？

在学习线性代数的时候，我们对向量空间有了比较简单的认知。简单来说，向量空间描述了一系列向量的集合，这些向量在缩放和相加等运算后仍然属于这个集合。但是这样的解释并没有体现空间的本质。我们不难发现，剔除掉向量这个对象，上面这段话剩下了两个关键词：集合和运算。所以在数学上我们定义：空间是由集合与需要遵循的规则组合而成的。对于向量空间来说，空间内的所有向量构成了一个集合，而这些向量在运算时需要遵循缩放和相加后仍属于这个集合的规则。这些规则描述了集合内的元素的相互关系，或者说运算。从这个角度来说，空间也可以被理解成集合+运算。对于向量空间来说，作为集合元素的向量需要满足以下运算规则：

∀α,β∈V,α+β∈V\forall\alpha,\beta\in V,\alpha+\beta\in V ∀α∈V,k∈R,k⋅α∈V\forall\alpha\in V,k\in\mathbb{R},k\cdot\alpha\in V

也就是向量相加的结果仍然属于对应的向量空间，向量乘以一个常数结果仍然属于对应的向量空间。

什么是函数空间？

在刚刚我们借由向量空间认识到了空间的本质。在定义上空间只是一种结构，里面的集合与规则可以是任何东西，那任何东西为什么不能是函数呢？

不妨让我们想象一个向量，但是我们把向量的维度拓宽到无限维。想象一下，对于一个函数f(x)f(x)任何一个f(x)f(x)取值都对应了这个向量一个坐标。函数有无穷种可能的取值，这个向量也就有无穷维度的坐标轴。但事实上这远远称不上定义，甚至很有可能是错误的。但是凭借我的大脑我能想到的理解方法仅仅如此，人类也完全无法从几何直观上想象三维以上的向量。但是这并不妨碍我们定义无穷维向量与函数空间，因为数学是抽象的艺术，从刚刚我们把空间的概念抽象出来那一刻起，空间里面塞的是什么就已经不重要了。我们的目的是借助空间这个工具，所以利用空间研究的对象是什么其实并没有什么所谓，我们只是需要借助空间的性质来做分析罢了。在数学家眼里，无论是向量还是函数，都是抽象的，他们并不一定关心这些东西表达的实际物理含义是什么。

从向量过渡到函数，我们把函数视作无穷维度的向量，然后把函数作为研究对象替换掉向量，我们便有了函数空间。函数空间是属于泛函分析的概念，其研究的对象是函数构成的函数空间。我们希望我们研究函数空间的时候能够像研究向量空间一样，对于任意一个函数（向量），我们都可以用基函数（向量）的线性组合来表示它。这样子不管多么复杂的函数，我们都可以把它分解成无限个简单的函数的叠加。这种叠加最好还满足线性，这样子我们就可以随心所欲地对他们进行诸如求导，相加，数乘等操作，甚至还能内积，方便我们度量这些函数。换句话说，我们需要定义这些规则或者说运算。这听起来很天马行空，但是伟大的数学家们已经帮我们做好了准备。

Hilbert空间

基于上述论述，我们需要为由函数组成的空间定义一系列的运算和规则，赋予他们线性的结构。为了度量我们需要空间有长度，角度的概念。我们还需要齐次性，平移不变性等等好用的性质。Hilbert空间就为我们提供了这些。它是一个完备的内积空间。

最基本的要求是线性，线性让我们可以对函数进行加法与乘法运算，满足基本运算性质。在线性基础上我们引入范数： 在向量空间中，向量内积操作能提供：

∣∣u∣∣2=u⋅u||u||^2=u\cdot u

定义函数模长（L2范数）为：

∣∣f∣∣2=∫abf2(t)dt||f||^2=\int_a^bf^2(t)dt

范数为我们定义了距离，或者说模长，定义了范数的空间被称为赋范空间。

在希尔伯特空间下，我们有连续函数的内积，以如下形式定义：

<f,g>=∫abf(t)g(t)dt<f,g>=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt

有了这些数学工具，我们便可以进入傅里叶级数的推导了

三角函数形式傅里叶级数推导

三角函数正交性

我们在向量空间中就学过正交基的概念，三维直角坐标系下的三个坐标轴向量就是一组正交基。对于我们的函数空间来说也是一样的。在上一节我们提到了连续函数内积公式，当两个函数内积等于零时我们便可以认为他们正交：

<f,g>=∫abf(t)g(t)dt=0<f,g>=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt=0

根据三角函数倍角公式，积化和差以及三角函数在一个周期内积分等于0，不难验证三角函数族相互正交

{1,cos⁡t,cos⁡2t,⋯ ,cos⁡nt,sin⁡t,sin⁡2t,⋯ ,sin⁡nt}\{1,\cos t,\cos2t,\cdots,\cos nt,\sin t,\sin2t,\cdots,\sin nt\}

回想线性代数的知识，正交的好处有很多，其中最大的好处之一就是可以通过简单的内积运算便可以获得投影向量。这边引入了我们下一节投影

函数投影与傅里叶级数三角级数表示

在向量空间VV对于任意向量u,v∈Vu,v \in V，投影的模长可以认为是：

u⋅v∣v∣\frac{u \cdot v}{|v|}

在函数空间下，我们也可以有类似的定义。前面我们提到，任意两个连续函数在希尔伯特空间下有内积

<f,g>=∫abf(t)g(t)dt<f,g>=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt

很自然的，我们考虑函数ff到gg上的投影，可以写为：

<f,g>∣∣g∣∣=∫abf(t)g(t)dt∫abg(t)2dt\frac{<f,g>}{||g||}=\frac{\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt}{\int_{a}^{b}g(t)^2dt}

我们知道，在向量空间VV中的任何向量uu都可以通过正交基底的线性组合来表示，线性组合的权值便是uu在对应正交基底上的投影长度。同样的，对于周期函数，我们也可以用三角函数族的正交组合来表示。对于任意满足狄利克雷条件的周期函数，我们可以分别计算其投影到cos⁡(nt)\cos(nt)的长度aka_k

ak=∫02πf(t)cos⁡(kt)dt∫02πcos⁡2(kt)dta_k=\frac{\int_{0}^{2\pi}f(t)\cos(kt)dt}{\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(kt)dt}

和sin⁡(nt)\sin(nt)的长度bkb_k

bk=∫02πf(t)sin⁡(kt)dt∫02πsin⁡2(kt)dtb_k=\frac{\int_{0}^{2\pi}f(t)\sin(kt)dt}{\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(kt)dt}

由于

∫02πsin⁡2(kt)dt=∫02πcos⁡2(kt)dt=π\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(kt)dt=\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(kt)dt=\pi

有直流分量

a0=∫02πf(t)dt2πa_0=\frac{\int_{0}^{2\pi}f(t)dt}{2\pi}

由此我们便导出了傅里叶级数的表达式

f(t)=a02+∑k=1∞(akcos⁡kt+bksin⁡kt)f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos kt+b_k\sin kt\right)

这个曾经看上去十分复杂的函数其物理意义也随之变得十分直观：将任意周期信号f(t)f(t)正交分解到由三角函数族构成的正交基底上，取其投影模长作为权值，对这些正交基底线性组合，便可以得到周期信号f(t)f(t)

傅里叶级数复指数形式推导

就像在向量空间中可以存在多种正交基底一样，在函数空间下我们也可以选用不同的正交基底来表示函数。正如信号与系统一书中所指出的，“在研究线性时不变系统时，将信号表示成复指数信号是十分有利的。因为一个LTI系统对复指数信号的响应同样也是个复指数信号，只是存在幅度上的变化。这一点可以通过卷积的知识证明，详情请参见奥本海姆版信号与系统，此处不多赘述。因此傅里叶级数取复指数信号作为正交基底在信号与系统学科下意义十分明显。很显然我们可以用欧拉公式将三角函数形式的傅里叶级数转化为复指数形式，但是我们同样可以从投影的角度出发导出傅里叶级数的复指数形式表达。

在复数域下的向量点积有如下定义：

⟨x,y⟩=∑i=1nxi∗yi\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i=1}^nx_i^*y_i

其中xi∗x_i^*表示取复共轭。类似的我们可以推导出复数函数点积公式：

⟨f,g⟩=∫Tf(x)g(x)‾dx\langle f,g\rangle=\int_{T}f(x)\overline{g(x)}dx

取复指数函数族ejkω0te^{jk\omega_0t}作为基底，其中ω0\omega_0为基波频率。根据上述公式，有：

ak=∫Tf(t)ejkω0t‾dt∫Tejkω0tejkω0t‾dta_k=\frac{\int_{T}f(t)\overline {e^{jk\omega_0t}}dt}{\int_{T}{e^{jk\omega_0t}\overline {e^{jk\omega_0t}}dt}}

由于

∫Tejkω0tejkω0t‾dt=∫Tejkω0te−jkω0tdt=∫Tdt=T\int_{T}{e^{jk\omega_0t}\overline {e^{jk\omega_0t}}dt}=\int_{T}{e^{jk\omega_0t}e^{-jk\omega_0t}dt}=\int_{T}{dt}=T

故原式为：

ak=1T∫Tf(t)e−jkω0tdta_k=\frac{1}{T}\int_{T}{f(t)e^{-jk\omega_0t}dt} x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0tx(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{0}t}

由此我们便从函数空间的角度导出了傅里叶级数的复指数形式。

参考文献

[1] Oppenheim, Alan V. (1998). Signals and Systems. Pearson Education.

[2] 此方家的空腹 (2023, May 11). 从函数空间的角度重新理解傅里叶变换. https://blog.51cto.com/u_15426866/6263844